中学受験の算数において、算数が不得意な子が特に混乱する公式といえば「面積比の法則」。今回、その違いをイラストで紹介し、混乱を引き起す問題を紹介します。
混乱させる三角形の面積比の法則とは？
法則が２つあるんです。ひとつは「高さが等しい図形の面積比は、底辺の長さに比例する」というもの。もうひとつが「相似な図形の面積比は、相似比の二乗にあたる」というもの。
この説明だけだと分かりませんので、次にそれぞれの面積比の法則を簡単に説明します。
高さが同じ三角形の面積比
下のような高さが等しい２つの三角形があったとしましょう。
この２つの三角形の面積比は、底辺の比と等しい。
これは三角形の面積の公式、「底辺×高さ÷２」のなかで「×高さ÷２」の部分が全く同じだからです。実際、具体的な数字で確かめてみると、すぐに分かります。
この公式そのものについて、子どもたちはスムーズに理解します。
相似な三角形の面積比
以下の２つの三角形は相似です。
底辺の比が２：３なら、それぞれの高さの比も2：３です。ということで
面積比が分かります。面積の比は２×２：３×３＝４：９。この考え方も「相似比をそれぞれ２回かければいい」ということで、難しくはありません。
でもこれが両方出てくると、図形が苦手な子は超混乱します。そこで２つの法則が混乱しないを紹介します。
２つを使う平行四辺形の問題
その両方の面積比の法則を使う代表的な問題が、この平行四辺形の各面積比の問題です。
この平行四辺形をつくっている三角形３つと四角形１つの面積比を求めてみます。
1.相似な図形を探す
まずはじめに相似な図形を探します。
すぐに、砂時計型の相似な三角形が見つけられます。（ここで顔を描くと分かりやすいです）対応する辺の長さが分かっていますので、相似比もすぐに分かりますね。
相似比が分かったところで、続けてこの書き込みです。
対応する辺の比を丁寧に描き込みます。
図形問題が不得意な子は、この書込みを疎かにします。相似が分かる→辺の比を書き込む。これが次の法則への布石となります。
2.高さが等しい三角形を探す
ここで緑線に注目すると、高さの等しい三角形が見えます。そうこの三角形は底辺の比が面積比になる。ここが正念場です。
二組の三角形を指でなぞりながら「顔の方は相似比からの面積比であり、緑の三角形は底辺比からの面積比になる」と確認します。
問題を解きすすめる前に、２つの面積比の公式がここに存在していることを、しっかり確かめます。
3.相似比から面積比を求める
ここで相似比から面積比を求めてみます。相似比を二回かけたものです。
緑で塗りつぶした三角形の面積比は９：４と分かります。さて、次です。
4.底辺比から面積比を求める
今度は、三角形ABEに注目です。ここでハッキリと意識を変えるように、ぼくの場合はイラストを書き込みます。（さらに面積比４の三角形を隠したりします）
この面積を底辺の比を使って求めます。先ほどの②：③の赤の書き込みから、比例式がたてられます。
②：③＝？：９
？＝６です。
三角形の面積比は求められました。最後に右側の四角形部分です。
5.合同な三角形から四角形の面積比
平行四辺形の左上と右下で、２つの三角形にわけてみます。対角線を共有する２つの三角形は合同。
左上の面積比は、先ほどの面積比を合わせて15。右下の合同な三角形も15です。だから四角形部分の面積比は15−４で、11となります。
これで全ての面積比が分かりました。
最後に
２つの面積比の法則をそれぞれ理解することは、難しくありません。難しいのは複合的に絡んできたときです。
その視点の切り替えをつかんで、図中に潜む法則をつかむことが大切です。
平行四辺形の問題を使って、スムーズに何度も練習を積むといいと思います。